§1. Понятие поверхности. Способы аналитического задания поверхности

Схема введения понятия поверхности будет та же, что и при введении понятия кривой: первоначально определим элементарную поверхность, затем, используя это понятие, определим простую поверхность, и, наконец, общую поверхность. При этом покажем, что исследование любой поверхности «в малом» может быть сведено к рассмотрению элементарной поверхности.

Определению элементарной поверхности предпошлем некоторые вспомогательные определения.

Множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} < {r^2}$, называется открытым кругом радиуса $r$ c центром в точке $A(a,b)$.

Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при топологическом отображении, т.е. элементарная область – это область гомеоморфная кругу.

Известна теорема Жордана о том, что всякая простая замкнутая кривая разбивает плоскость на две области и является границей для каждой из этих областей. Одна из областей конечна, другая – бесконечная. При этом конечная область гомеоморфна кругу. Таким образом, внутренность квадрата, прямоугольника, внутренность эллипса – все это элементарные области.

Определим элементарную поверхность.

Определение. Множество $\Phi$ точек пространства называется элементарной поверхностью, если оно является образом элементарной области на плоскости при топологическом её отображении в пространство.

Это означает, что элементарная поверхность получается путем непрерывной деформации (растяжений, сжатий, изгибаний) куска плоскости. Таким образом, существует плоскость, спроектировав на которую элементарную поверхность, получим взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между точками поверхности и точками проекции.

Любая плоская область является элементарной поверхностью, а сфера таковой не является, хотя такой будет всякая достаточно малая сферическая область.

Пусть $G$ – элементарная поверхность, а $\Phi$ – элементарная область на плоскости, образом которой при топологическом отображении $f$ является поверхность $\Phi$. Пусть $u$ и $v$ – декартовы координаты произвольной точки принадлежащей $G$, а $(x,y,z)$ – координаты соответствующей точки поверхности. Очевидно, координаты $(x,y,z)$ точки поверхности являются функциями двух переменных $u$ и $v$.

$$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).$$

Эту систему равенств, задающих отображение $f$ области $G$ в пространство, называют уравнениями поверхности в параметрической форме; параметры $u$ и $v$ – называют криволинейными или гауссовыми координатами на поверхности.

Если в этих уравнениях зафиксировать $u$ или $v$, то получим кривые, лежащие на поверхности. Эти кривые называются координатными линиями на поверхности. Если $\vec i,\vec j,\vec k$   – орты прямоугольной системы координат, то параметрическое задание поверхности равносильно заданию одной векторной функции двух скалярных аргументов:

$$\vec r = \vec r(u,v) = x(u,v)\vec i + y(u,v)\vec j + z(u,v)\vec k.$$

При этом говорят, что поверхность задана векторным уравнением, а векторную функцию $\vec r = \vec r(u,v)$  называют радиус-вектором точки поверхности $\Phi$.

Определение. Множество $\Phi$ точек пространства называется  простой поверхностью, если это множество связно и каждая точка $X$ этого множества имеет окрестность $G$ такую, что часть $\Phi$, расположенная в $G$, является элементарной поверхностью.

Как и в случае кривой, окрестностью точки $X$ простой поверхности $\Phi$ будем называть общую часть поверхности $\Phi$ и некоторой пространственной окрестности точки $X$. Так как, согласно определению, у каждой точки простой поверхности есть окрестность, являющаяся элементарной поверхностью, то в дальнейшем, говоря об окрестности точки $X$, мы будем иметь в виду такую элементарную окрестность.

Всякая элементарная поверхность является простой. Например, график непрерывной функции двух переменных $z = f(x,y)$ является простой и элементарной поверхностью.

Задание поверхности уравнением

$$z = f(x,y)$$

называется явным заданием поверхности. Но элементарными поверхностями далеко не исчерпываются все простые поверхности. Например, сфера – простая, но не элементарная поверхность.

Простые поверхности нельзя охарактеризовать в целом, как это было сделано для простых кривых. Некоторое представление о разнообразии простых поверхностей даёт следующее соображение. Если из произвольной простой поверхности удалить любое замкнутое множество точек, но так, чтобы не нарушать связности, то оставшаяся часть будет также простой.

Простая поверхность называется полной, если предельная точка для любой сходящейся последовательности точек поверхности также является точкой поверхности (например, сфера, параболоид).

Если простая полная поверхность является конечной, то есть может быть помещена внутрь сферы конечного радиуса, то она называется замкнутой (например, сфера, тор).

Определение. Множество $\Phi$ точек пространства называется общей поверхностью, если оно является образом простой поверхности при локально топологическом отображении ее в пространство.

Будем говорить, что отображение ${f_1}$ простой поверхности $\Phi_1$ и отображение ${f_2}$ простой поверхности $\Phi_2$ определяют одну и ту же общую поверхность $\Phi$, если между точками поверхностей $\Phi_1$ и $\Phi_2$ можно установить топологическое соответствие, при котором образы соответствующих точек этих поверхностей на поверхности $\Phi$ совпадают.

Окрестностью точки $f(x)$ общей поверхности $\Phi$, являющейся образом простой поверхности $\tilde \Phi $ при локальном топологическом отображении $f$, будем называть образ любой окрестности точки $x \in \tilde \Phi $.

Так как у каждой такой точки $x \in \tilde \Phi $ есть элементарная окрестность, а отображение $f$ – является топологическим в достаточно малой окрестности точки $x \in \tilde \Phi $, то $f(x)$ на $\Phi$ имеет окрестность, являющуюся элементарной поверхностью. Таким образом, исследование любой поверхности «в малом» сводится к рассмотрению элементарной поверхности.

Определение. Поверхность $\Phi$ называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, то есть задание уравнениями в параметрической форме

$$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),$$

$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)$ – регулярные ($k$ раз непрерывно дифференцируемые) функции.

При $k=1$ поверхность называется гладкой. Поверхность называется аналитической, если функции $x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)$ – аналитические.

В дальнейшем, мы будем рассматривать исключительно регулярные поверхности.

Естественно возникает вопрос: когда система равенств:

$$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),$$

где $x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)$ – регулярные функции, задаёт регулярную поверхность? Ответ на этот вопрос во многих случаях дает следующая теорема.

Теорема.   Если $x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)$ – регулярные функции в области $G$ плоскости $uv$, удовлетворяющие условию

\[rang\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x'}_u},{{y'}_u},{{z'}_u}} \newline {{{x'}_v},{{y'}_v},{{z'}_v}} \end{array}} \right) = 2,\]

то система равенств

$$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)$$

задаёт некоторую поверхность $\Phi$. Эта поверхность есть образ простой поверхности при локальном топологическом отображении, которое точке $(u,v)$ ставит в соответствие точку пространства с координатами $x = x(u,v)$, $y = y(u,v)$, $z = z(u,v)$.

Точку $P$ регулярной поверхности называют обыкновенной, если

\[rang\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x'}_u},{{y'}_u},{{z'}_u}}\cr {{{x'}_v},{{y'}_v},{{z'}_v}} \end{array}} \right) = 2.\]

В случае задания поверхности векторным уравнением

$$\vec r = \vec r(u,v),$$

данное условие равносильно неколлинеарности векторов ${\vec r'_u}$ и ${\vec r'_v}$, то есть условию $\left| {[{{\vec r'}_u},{{\vec r'}_v}]} \right| \ne 0$.

В противном случае точка $P$ называется особой. Линия на поверхности, все точки которой являются особыми, называется особой линией.

При исследовании регулярных поверхностей бывает полезно пользоваться специальными параметризациями. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Некоторые поверхности при подходящем выборе осей координат $x,y,z$ допускают параметризацию вида

$$\begin{array}{*{20}{c}} {x = u,}&{y = v,}&{z = f(u,v)} \end{array} $$

эквивалентную явному заданию поверхности $z = f(x,y)$.

Такая параметризация поверхности отличается большой наглядностью. Соответствие между точками поверхности и точками области на плоскости $XOY$ осуществляется проектированием прямыми, параллельными оси $z$.

Теорема. Пусть $\Phi$ – регулярная поверхность и  $$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)$$ её регулярная параметризация в окрестности точки $P$. Пусть в точке $P$ \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x'}_u},{{y'}_u}}\cr {{{x'}_v},{{y'}_v}} \end{array}} \right| \ne 0.\] Тогда в окрестности $P$ поверхность $\Phi$ допускает задание уравнением                                               $$z = f(x,y),$$  где $f$ – регулярная функция. Будем говорить, что поверхность $\Phi$ неявно задана уравнением \[\phi (x,y,z) = 0,\] выражая этим только то, что координаты точек поверхности удовлетворяют данному уравнению. При этом могут существовать точки пространства, удовлетворяющие данному уравнению и не принадлежащие поверхности $\phi (x,y,z) = 0$. При рассмотрении поверхностей, заданных уравнением $\phi (x,y,z) = 0$, важную роль играет следующая теорема.

Теорема.
Пусть $\phi (x,y,z)$ – регулярная функция переменных $x,y,z$. Пусть $M$ – множество точек пространства, удовлетворяющих уравнению \[\phi (x,y,z) = 0;\] $({x_0},{y_0},{z_0})$ – точка этого множества, в которой $\phi '_x^2 + \phi '_y^2 + \phi '_z^2 \ne 0$.

Тогда у точки $({x_0},{y_0},{z_0})$ есть окрестность такая, что все точки множества $M$, принадлежащие этой окрестности, образуют регулярную элементарную поверхность.

Отметим, что точка $P$ регулярной поверхности $\Phi$, для которой $\phi '_x^2 + \phi '_y^2 + \phi '_z^2 \ne 0$, является обыкновенной; в противном случае – особой.

Печать/экспорт