§2. Касательная плоскость поверхности

{{Дифгеом2.files/image006.png?238x137 Пусть $F$ – поверхность, $P$ – точка на ней и $\alpha $ – плоскость, проходящая через точку $P$. Возьмём на поверхности точку $Q$ и обозначим её расстояния от точки $P$ и плоскости $\alpha $ через $d$ и $h$ соответственно.

Определение. Плоскость $\alpha $ называется касательной плоскостью поверхности в точке $P$, если отношение $\frac{h}{d} \to 0$, когда \[Q \to P.\]

Теорема. Гладкая поверхность $F$ имеет в каждой точке касательную плоскость и притом единственную.

Если $\bar r = \bar r(u,v)$ какая-нибудь гладкая параметризация поверхности, то касательная плоскость в точке $P\left( {{u_0},{v_0}} \right)$ параллельна векторам ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ и ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$.

Доказательство. Допустим, что поверхность $F$ в точке $P\left( {{u_0},{v_0}} \right)$ имеет касательную плоскость $\alpha $.

Обозначим через $\vec n$ –  единичный вектор нормали плоскости $\alpha $. Пусть точка $Q$ имеет криволинейные координаты $\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right)$, тогда

\[d = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \left| {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right) - \vec r({u_0},{v_0})} \right|,\]

а расстояние от точки $Q$ до плоскости $\alpha $ равно проекции вектора $\overrightarrow {PQ} $ на направление единичного вектора $\vec n$, то есть

\[h = \left| {\left( {\overrightarrow {PQ} ,\vec n} \right)} \right| = \left| {\left( {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right) - \vec r({u_0},{v_0}),\vec n} \right)} \right|.\]

Следовательно, $\frac{h}{d} = \frac{{\left| {\left( {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right) - \vec r({u_0},{v_0}),\vec n} \right)} \right|}}{{\left| {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right) - \vec r({u_0},{v_0})} \right|}}$.

Согласно определению касательной плоскости $\frac{h}{d} \to 0$, если $Q \to P$, то есть, когда $\Delta u$ и $\Delta v$ независимо стремятся к 0, при любом пути стремления. В частности, возьмём $\Delta v = 0$, а $\Delta u \to 0$. Получим

\[\frac{{\left| {\left( {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0}} \right) - \vec r({u_0},{v_0}),\vec n} \right)} \right|}}{{\left| {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0}} \right) - \vec r({u_0},{v_0})} \right|}} \to 0\] при   $\Delta u \to 0$. Но

\[\frac{ {\left| {\left( {\vec r\left( { {u_0} + \Delta u,{v_0}} \right) - \vec r({u_0},{v_0}),\vec n} \right)} \right|}}{ {\left| {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0}} \right) - \vec r({u_0},{v_0})} \right|}} = \frac{ {\left| {\left( {\frac{ {\vec r\left( { {u_0} + \Delta u,{v_0}} \right) - \vec r({u_0},{v_0})}}{ {\Delta u}},\vec n} \right)} \right|}}{ {\left| {\frac{{\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0}} \right) - \vec r({u_0},{v_0})}}{ {\Delta u}}} \right|}} \to \frac{{\left| {({ {\vec r{}'}_u}({u_0},{v_0}),\vec n)} \right|}}{ {\left| { { {\vec r{}'}_u}({u_0},{v_0})} \right|}}.\]

Так как ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0}) \ne 0$(точка $P$ не является особой и $\left| {[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]} \right| \ne 0$), то   $\left( {{{\vec r{}'}_u}({u_0},{v_0}),\vec n} \right) = 0$. Следовательно, вектор ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ перпендикулярный вектору $\vec n$, а, значит параллельный плоскости $\alpha $.

Аналогично доказывается, что вектор ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$ также параллелен плоскости $\alpha $.

Так как векторы ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ и ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$ отличны от нуля и непараллельны ($\left[ {{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}} \right] \ne \vec 0$), то касательная плоскость, если она существует, единственная.

Докажем теперь существование касательной плоскости. Для этого рассмотрим плоскость $\alpha $, проходящую через точку $P$ параллельно векторам ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ и ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$. Покажем, что она является касательной плоскостью.

Так как $\frac{h}{d} = \frac{{\left| {\left( {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right) - \vec r({u_0},{v_0}),\vec n} \right)} \right|}}{{\left| {\vec r\left( {{u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v} \right) - \vec r({u_0},{v_0})} \right|}}$, то разложив функцию $\vec r({u_0} + \Delta u,{v_0} + \Delta v)$ в ряд Тейлора получим

\[\frac{h}{d} = \frac{{\left| {\left( { { {\vec r{}'}_u}({u_0},{v_0}),\vec n} \right)\Delta u + \left( { { {\vec r{}'}_v}({u_0},{v_0}),\vec n} \right)\Delta v + {\varepsilon _1}\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} } \right|}}{ {\left| {{{\vec r{}'}_u}({u_0},{v_0})\Delta u + {{\vec r{}'}_v}({u_0},{v_0})\Delta v + {\varepsilon _2}\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} } \right|}} = \]

\[ = \frac{ {\left| {\left( { { {\vec r{}'}_u},\vec n} \right)\frac{ {\Delta u}}{ {\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} }} + \left( { { {\vec r{}'}_v},\vec n} \right)\frac{ {\Delta v}}{ {\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} }} + {\varepsilon _1}} \right|}}{ {\left| { { {\vec r{}'}_u}\frac{ {\Delta u}}{ {\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} }} + { {\vec r{}'}_v}\frac{ {\Delta v}}{ {\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} }} + {\varepsilon _2}} \right|}}\],

где ${\varepsilon _1}$  и  ${\varepsilon _2} \to 0$, когда $\Delta u,\Delta v \to 0$.

Докажем, что $\frac{h}{d} \to 0$, когда $\Delta u,\Delta v \to 0$.

Допустим противное, то есть, что существует последовательность пар $(\Delta u,\Delta v)$, сходящихся к нулю и таких, что соответствующее им $\frac{h}{d} > \varepsilon > 0$. Из этой последовательности пар можно выбрать такую подпоследовательность, для которой отношения

\[\frac{ {\Delta u}}{ {\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} }}\]    и    \[\frac{ {\Delta v}}{ {\sqrt {\Delta {u^2} + \Delta {v^2}} }}\]

будут сходиться к некоторым значениям $\xi $  и  $\eta $.

Очевидно, ${\xi ^2} + {\eta ^2} = 1$. Переходя к пределу отношения  $\frac{h}{d}$ по выбранной подпоследовательности, получим:

\[\frac{h}{d} \to \frac{{\left| {\left( { { {\vec r{}'}_u},\vec n} \right)\xi + \left( { { {\vec r{}'}_v},\vec n} \right)\eta } \right|}}{ {\left| {{{\vec r{}'}_u}\xi + { {\vec r{}'}_v}\eta } \right|}}.\]

Так как плоскость $\alpha $ параллельна векторам ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ и ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$, то $\left( {{{\vec r{}'}_u},\vec n} \right) = 0$ и $\left( {{{\vec r{}'}_v},\vec n} \right) = 0$, а ${\vec r{}'_u}\xi + {\vec r{}'_v}\eta \ne 0$(векторы ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ и ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$ неколлинеарны), то $\frac{h}{d} \to 0$. Но это противоречит тому, что все допредельные значения $\frac{h}{d}$ по предположению больше $\varepsilon > 0$.

Теорема доказана полностью.

Используя теорему не трудно написать уравнение касательной плоскости.

Пусть поверхность задана уравнением $\vec r = \vec r(u,v)$, $P({u_0},{v_0})$ – произвольная точка поверхности. Пусть ${\vec {\tilde {r}}}$ –  радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости в точке P. Тогда векторы  ${\vec {\tilde {r}}} - \vec r({u_0},{v_0})$, ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$, ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$ –  параллельны касательной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Отсюда уравнение касательной плоскости имеет вид:

в векторной форме

\[({\vec {\tilde {r}}} - \vec r({u_0},{v_0}),{\vec r{}'_u}({u_0},{v_0}),{\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})) = 0;\]

в координатной форме

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - x({u_0},{v_0})}&{y - y({u_0},{v_0})}&{z - x({u_0},{v_0})}\cr {{{x'}_u}({u_0},{v_0})}&{{{y'}_u}({u_0},{v_0})}&{{{z'}_u}({u_0},{v_0})}\cr {{{x'}_v}({u_0},{v_0})}&{{{y'}_v}({u_0},{v_0})}&{{{z'}_v}({u_0},{v_0})} \end{array}} \right| = 0,\]

где $\vec r(u,v) = \left\{ {\,x(u,v),y(u,v),z(u,v)\,} \right\}$.

Уравнение касательной плоскости поверхности, заданной уравнением $z = f(x,y)$, легко получается из найденного только что:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_0}}&{y - {y_0}}&{z - {z_0}}\cr 1&0&{{{f'}_x}}\cr 0&1&{{{f'}_y}} \end{array}} \right| = 0\]

или

\[z - {z_0} - {f'_x}({x_0},{y_0})\left( {x - {x_0}} \right) - {f'_y}({x_0},{y_0})\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\]

Пусть поверхность задана уравнением $\phi (x,y,z) = 0$. Найдём уравнение касательной плоскости в точке $P({x_0},{y_0},{z_0})$ поверхности, в которой $\phi '_x^2 + \phi '_y^2 + \phi '_z^2 \ne 0$. Пусть $x = x(u,v)$, $y = y(u,v)$, $z = z(u,v)$ – гладкая параметризация поверхности в окрестности этой точки. Тогда

\[\phi (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \equiv 0\]

Дифференцируя это тождество, в точке $P({x_0},{y_0},{z_0})$ получим:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\phi '}_x}{{x'}_u} + {{\phi '}_y}{{y'}_u} + {{\phi '}_z}{{z'}_u} = 0}\cr {{{\phi '}_x}{{x'}_v} + {{\phi '}_y}{{y'}_v} + {{\phi '}_z}{{z'}_v} = 0} \end{array}} \right.\]

С геометрической точки зрения, эти равенства означают, что вектор $\vec N = \left\{ {{{\phi '}_x},{{\phi '}_y},{{\phi '}_z}} \right\}$ ортогонален векторам ${\vec r{}'_u} = \left\{ {{{x'}_u},{{y'}_u},{{z'}_u}} \right\}$ и ${\vec r{}'_v} = \left\{ {{{x'}_v},{{y'}_v},{{z'}_v}} \right\}$, а значит коллинеарен их векторному произведению, то есть вектору нормали касательной плоскости поверхности

\[\frac{{{{\phi '}_x}}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{y'}_u}}&{{{z'}_u}}\cr {{{y'}_v}}&{{{z'}_v}} \end{array}} \right|}} = \frac{{{{\phi '}_y}}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{z'}_u}}&{{{x'}_u}}\cr {{{z'}_v}}&{{{x'}_v}} \end{array}} \right|}} = \frac{{{{\phi '}_z}}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x'}_u}}&{{{y'}_u}}\cr {{{x'}_v}}&{{{y'}_v}} \end{array}} \right|}}.\]

Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид

\[\left( {x - {x_0}} \right){\phi '_x}({x_0},{y_0},{z_0}) + \left( {y - {y_0}} \right){\phi '_y}({x_0},{y_0},{z_0}) + \left( {z - {z_0}} \right){\phi '_z}({x_0},{y_0},{z_0}) = 0.\]

Согласно доказанной теоремы, всякий вектор лежащий в касательной плоскости однозначно представим в виде линейной комбинации векторов ${\vec r{}'_u}({u_0},{v_0})$ и ${\vec r{}'_v}({u_0},{v_0})$. Так как полный дифференциал радиус-вектора точки Р поверхности $d\vec r = {\vec r{}'_u}du + {\vec r{}'_v}dv$, то он лежит в касательной плоскости. Более того, всякий вектор, лежащий в касательной плоскости, мы будем интерпретировать как вектор $d\vec r$.

Определение. Направлением $(du:dv)$ в точке Р на поверхности, заданной уравнением $\vec r = \vec r(u,v)$, называется направление вектора $d\vec r = {\vec r{}'_u}du + {\vec r{}'_v}dv$ в точке Р.

Таким образом, направление в точке Р – это направление любого вектора, лежащего в касательной плоскости поверхности в точке Р. Направление будем обозначать $(du:dv)$ или просто (d).

Нетрудно доказать, что если в точке $P$ поверхности провести касательные ко всем кривым, проходящим через точку $P$ и лежащим на поверхности, то все они будут лежать в касательной плоскости поверхности в точке $P$. Действительно, если $\vec r = \vec r(u,v)$ – гладкая параметризация поверхности, то уравнение кривой на поверхности может быть задано в виде $u = u(t),v = v(t)$. Тогда $\vec r(t) = \vec r(u(t),v(t))$ – векторное уравнение кривой. Дифференцируя его по t, получим $\vec r'{}(t) = {\vec r'{}_u}u' + {\vec r'{}_v}v'$. Следовательно, направляющий вектор касательной кривой, а значит и касательная, лежит в касательной плоскости поверхности.

Верно и обратное: для любого вектора, лежащего в касательной плоскости поверхности в точке Р, всегда существует кривая, проходящая через точку $P$ и лежащая на поверхности, для которой выбранный вектор является направляющим вектором касательной кривой в точке Р. Для доказательства заметим, что для заданного вектора $d\vec r = {\vec r{}'_u}du + {\vec r{}'_v}dv$, искомая кривая задается уравнениями $u = u(t),v = v(t)$, где функции $u(t),v(t)$ определяются равенствами $du = u'dt$, $dv = v'dt$.

Направление вектора $d\vec r$ будем называть также направлением кривой на поверхности в точке Р, а соответствующую кривую – кривой, проведенной на поверхности через точку Р в направлении (d). Таким образом, направление кривой на поверхности  может быть определено отношением $(u'(t):v'(t))$.

Определение. Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через точку $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Всякий вектор коллинеарный с нормалью, называется вектором нормали. Если поверхность задана векторным уравнением $\vec r = \vec r(u,v)$, то, согласно доказанной теореме, нормаль перпендикулярна к векторам ${\vec r{}'_u}$ и ${\vec r{}'_v}$. Таким образом, векторное произведение \[\left[ {{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}} \right]\] является вектором нормали. Единичный вектор нормали, будем обозначать через $\vec n$, так что

\[\vec n = \frac{{[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]}}{{\left| {[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]} \right|}}.\]

Заметим, что, в силу определения вектора $\vec n$, тройка векторов ${\vec r{}'_u}$, ${\vec r{}'_v}$, $\vec n$ линейно независимая и всегда является правой.

Составить уравнение нормали после того, как известно уравнение касательной плоскости и определен направляющий вектор нормали $\vec n$ для различных случаев задания поверхности, не составляет труда и предлагается в качестве легкого упражнения.

Печать/экспорт