§4. Первая квадратичная форма поверхности

Пусть $F$ – регулярная поверхность, $\vec r = \vec r(u,v)$ – какая-нибудь её регулярная параметризация и $\vec n$ – единичный вектор нормали к поверхности в точке $(u,v)$.

В теории поверхностей важную роль играют три квадратичные формы, связанные с поверхностью:

\[d{\vec r{}^2}, - (d\vec r,d\vec n),d{\vec n{}^2}\].

Эти квадратичные формы называются соответственно первой, второй и третьей квадратичными формами. Отметим, что третью квадратичную форму поверхности можно выразить линейно через первую и вторую квадратичные формы. Поэтому в данном курсе лекций мы рассмотрим только две первые квадратичные формы и рассмотрение начнем с первой квадратичной формы поверхности.

Найдем скалярный квадрат полного дифференциала радиус-вектора точек поверхности. Имеем \[d{\vec r{}^2} = {({\vec r{}'_u}du + {\vec r{}'_v}dv)^2} = {({\vec r{}'_u})^2}d{u^2} + 2({\vec r{}'_u},{\vec r{}'_v})dudv + {({\vec r{}'_v})^2}d{v^2}\] или, если ввести обозначения $E = {({\vec r{}'_u})^2}$, $F = ({\vec r{}'_u},{\vec r{}'_v})$, $G = {({\vec r{}'_v})^2}$, то \[d{\vec r{}^2} = Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}.\]

В правой части равенства стоит однородный многочлен второй степени относительно двух переменных – дифференциалов du, dv. Однородный многочлен иначе называется формой; если же его переменными являются дифференциалы, то дифференциальной формой. Поскольку получен однородный многочлен второй степени, то он называется квадратичной дифференциальной формой.

Определение. Первой квадратичной формой поверхности называется скалярный квадрат дифференциала радиус-вектора точек поверхности, то есть выражение вида $I = d{\vec r{}^2}$.

Таким образом, первая квадратичная форма поверхности

\[I = Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}\]

– это квадратичная дифференциальная форма. Коэффициенты E, F, G  квадратичной формы являются функциями двух переменных u, v . Поэтому, первая квадратичная форма поверхности является функцией от двух серий переменных: переменных u, v, от которых зависят коэффициенты формы E, F, G, и переменных второй серии du, dv, которые входят в выражение явно.

Первая квадратичная форма поверхности является положительно определенной формой, так как она принимает только неотрицательные значения и обращается в 0, только при  условии $du = dv = 0$. В самом деле, скалярный квадрат $d{\vec r{}^2} \ge 0$, причем $d{\vec r{}^2} = 0$, если $d\vec r = {\vec r{}'_u}du + {\vec r{}'_v}dv = \vec 0$. А так как $[{\vec r{}'_u},{\vec r{}'_v}] \ne \vec 0$ (векторы ${\vec r{}'_u}$ и ${\vec r{}'_v}$ – линейно независимые), то это возможно только при условии $du = dv = 0$.

Выражение вида $EG - {F^2}$ называется дискриминантом первой квадратичной формы поверхности. Докажем, что $EG - {F^2} > 0$ при любых значениях u, v.

Действительно,

\[EG - {F^2} = {({\vec r{}'_u})^2}{({\vec r{}'_v})^2} - {({\vec r{}'_u},{\vec r{}'_v})^2} = {\left| {[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]} \right|^2} > 0.\]

Замечание. Условие $EG - {F^2} > 0$ также непосредственно вытекает из положительной определенности первой квадратичной формы поверхности.

Печать/экспорт