§7. Изометричные поверхности. Изгибание поверхностей

Поверхности ${\Phi _1}$ и ${\Phi _2}$ называются изометричными, если существует взаимно однозначное отображение поверхности ${\Phi _1}$ на поверхность ${\Phi _2}$ при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины.

Теорема. Если регулярные поверхности ${\Phi _1}$ и ${\Phi _2}$ можно параметризовать так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы, то поверхности изометричны. Изометрическое отображение заключается в сопоставлении точек с одинаковыми внутренними координатами.

Обратно, если поверхности ${\Phi _1}$ и ${\Phi _2}$ изометричны, то они могут быть параметризованы так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы.

Эту теорему мы примем без доказательства.

Очевидно, равные поверхности – изометричны. Обратное не всегда верно. Нетрудно указать примеры изометричных и в то же время не равных друг другу поверхностей. Например, область $0 < x < \frac{\pi }{2}$, $0 < y < 1$ на координатной плоскости $XOY$ изометрична области на цилиндре ${x^2} + {y^2} = 1$, определяемой условиями: $0 < Z < 1$, $X > 0$, $Y > 0$. Для доказательства достаточно заметить, что указанная область на цилиндре допускает параметризацию: $\begin{array}{*{20}{c}} {x = \cos u,}&{y = \sin u,}&{z = v} \end{array}$, $0 < u < \frac{\pi }{2}$, $0 < v < 1$. Линейный элемент цилиндра, соответствующий такой параметризации, есть $d{u^2} + d{v^2}$. Отсюда видно, что отображение $x = u, y = v$, изометрическое.

Так как углы между кривыми на поверхности и площадь поверхности определяется первой квадратичной формой, то при изометрическом отображении сохраняются углы между кривыми и площади, то есть соответствующие кривые изометричных поверхностей образуют одинаковые углы, а соответствующие области имеют одинаковые площади.

Итак, мы показали, что различные поверхности могут иметь при соответствующей параметризации одинаковые первые квадратичные формы. Возникает вопрос: в какой степени определяется поверхность первой квадратичной формой и существует ли поверхность, имеющая произвольно заданную квадратичную форму своей первой квадратичной формой?

Оказывается, поверхность «в малом» далеко не определяется своей первой квадратичной формой, то есть существуют изометричные, но неравные поверхности.

Однако, некоторые поверхности «в целом» первой квадратичной формой определяются однозначно. Так, например, любая регулярная замкнутая выпуклая поверхность $\Phi$ первой квадратичной формой определяется однозначно, в том смысле, что любая регулярная поверхность $\Phi '$ изометричная $\Phi$, равна $\Phi$.  Можно назвать достаточно широкий класс бесконечных поверхностей, однозначно определяемых первой квадратичной формой (параболоид).

С понятие изометричных поверхностей тесно связано понятие изгибания поверхностей

Определение. Изгибанием поверхности называется такая непрерывная её деформация, при которой длины кривых на поверхности не изменяются.

Наглядное представление об изгибании может дать изгибание листа бумаги.

Так как при изгибании поверхности длины кривых не изменяются и, следовательно, поверхность в любой момент изгибания изометрична исходной поверхности, то при соответствующей параметризации первая квадратичная форма при изгибании поверхности не изменяется.

Оказывается, поверхности «в малом», как правило изгибаемы: у каждой точки аналитической поверхности, не являющейся точкой уплощения, существует окрестность, допускающая непрерывные изгибания.

Среди поверхностей «в целом» существуют поверхности, не допускающие непрерывных изгибаний. Таковы, например, все замкнутые выпуклые поверхности.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляют так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Таким образом, если поверхность $\Phi 1$ получается из поверхности $\Phi 2$ путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.