§8. Вторая квадратичная форма поверхности

Пусть $\Phi $ – регулярная поверхность, $\vec r = \vec r(u,v)$ – какая-нибудь её регулярная параметризация, $\vec n(u,v)$ – единичный вектор нормали поверхности в точке $P(u,v)$.

Определение. Второй квадратичной формой поверхности называется квадратичная форма вида \[II = - (d\vec r,d\vec n) = ( - {\vec r{}'_u},{\vec n{}'_u})d{u^2} + ( ( - {\vec r{}'_u},{\vec n{}'_v}) + ( - {\vec r{}'_v},{\vec n{}'_u}) )dudv + ( - {\vec r{}'_v},{\vec n{}'_v})d{v^2}.\]

Для коэффициентов этой формы введены следующие обозначения:

\[L = ( - {\vec r{}'_u},{\vec n{}'_u}),\quad 2M = ( - {\vec r{}'_u},{\vec n{}'_v}) + ( - {\vec r{}'_v},{\vec n{}'_u}),\quad N = ( - {\vec r{}'_v},{\vec n{}'_v}).\]

Отметим, что $( - {\vec r{}'_u},{\vec n{}'_v}) = ( - {\vec r{}'_v},{\vec n{}'_u}) = M$. Действительно, так как $({\vec r{}'_u},\vec n) = 0$, $({\vec r{}'_v},\vec n) = 0$, то дифференцируя первое равенство по v, а второе по u, получим $ ( - {\vec r{}'_u}, {\vec n{}'_v} ) = ( {\vec r{}^{\prime\prime}_{uv}}, \vec n )$ и $( - {\vec r{}'_v},{\vec n{}'_u}) = ({\vec r{}^{\prime\prime}_{uv}},\vec n)$.

Поскольку $(d\vec r,\vec n) = 0$ (см. §2) и, следовательно,

\[d(d\vec r,\vec n) = ({d^2}\vec r,\vec n) + (d\vec r,d\vec n) = 0, - (d\vec r,d\vec n) = ({d^2}\vec r,\vec n),\]

то

\[II = ({d^2}\vec r,\vec n) = ({\vec r{}^{\prime\prime}_{uu}},\vec n)d{u^2} + 2({\vec r{}^{\prime\prime}_{uv}},\vec n)dudv + ({\vec r{}^{\prime\prime}_{vv}},\vec n)d{v^2}.\]

Отсюда

\[\begin{array}{*{20}{c}} {L = ({{\vec r{}^{\prime\prime}}_{uu}},\vec n),}&{M = ({{\vec r{}^{\prime\prime}}_{uv}},\vec n),}&{N = ({{\vec r{}^{\prime\prime}}_{vv}},\vec n)} \end{array}\]

и

\[II = Ld{u^2} + 2Mdudv + Nd{v^2}.\]

Так как $\vec n = \frac{{[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]}}{{\left| {[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]} \right|}}$, а $\left| {[{{\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]} \right| = \sqrt {EG - {F^2}} $, то

\[L = \frac{ {({ {\vec r{}^{\prime\prime}}_{uu}},{ {\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v})}}{ {\left| {[{ {\vec r{}'}_u},{ {\vec r{}'}_v}]} \right|}} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { { {x^{\prime\prime}}_{uu}}}&{ { {y^{\prime\prime}}_{uu}}}&{ { {z^{\prime\prime}}_{uu}}}\cr { {{x'}_u}}&{ {{y'}_u}}&{{{z'}_u}}\cr { {{x'}_v}}&{ {{y'}_v}}&{ {{z'}_v}} \end{array}} \right|}}{ {\sqrt {EG - {F^2}} }},\]

\[M = \frac{ {({ {\vec r{}^{\prime\prime}}_{uv}},{ {\vec r{}'}_u},{ {\vec r{}'}_v})}}{{\left| {[{ {\vec r{}'}_u},{ {\vec r{}'}_v}]} \right|}} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { { {x{}^{\prime\prime}}_{uv}}}&{ { {y{}^{\prime\prime}}_{uv}}}&{{{z{}^{\prime\prime}}_{uv}}}\cr { { {x'}_u}}&{ { {y'}_u}}&{ { {z'}_u}}\cr { { {x'}_v}}&{{{y'}_v}}&{{{z'}_v}} \end{array}} \right|}}{ {\sqrt {EG - {F^2}} }},\]

\[N = \frac{ {({ {\vec r{}^{\prime\prime}}_{vv}},{ {\vec r{}'}_u},{ {\vec r{}'}_v})}}{ {\left| {[{ {\vec r{}'}_u},{{\vec r{}'}_v}]} \right|}} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { { {x{}^{\prime\prime}}_{vv}}}&{ { {y{}^{\prime\prime}}_{vv}}}&{ { {z{}^{\prime\prime}}_{vv}}}\cr { { {x'}_u}}&{ { {y'}_u}}&{ { {z'}_u}}\cr { { {x'}_v}}&{ { {y'}_v}}&{ { {z'}_v}} \end{array}} \right|}}{ {\sqrt {EG - {F^2}} }}.\]

Вторая квадратичная форма также называется второй гауссовой квадратичной формой.

Коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы являются функциями двух переменных u, v . Поэтому, вторая квадратичная форма поверхности, как и первая, является функцией от двух серий переменных: переменных u, v, от которых зависят коэффициенты формы L, M, N, и переменных второй серии du, dv, которые входят в выражение явно.

Если первая квадратичная форма поверхности дает элемент дуги, определяющий внутреннюю геометрию поверхности, то вторая квадратичная форма характеризует внешний вид поверхности и, как видно из простейших примеров (например, для случая цилиндрической поверхности), изменяется при изгибании поверхности.

В противоположность первой квадратичной форме, которая при всех значениях du, dv имеет положительную величину, вторая квадратичная форма может иметь как положительную, так и отрицательную величину. Вторая квадратичная форма может равняться нулю либо тождественно (тогда L=M=N=0), либо при некоторых значениях du, dv (являющихся корнями уравнения $Ld{u^2} + 2Mdudv + Nd{v^2} = 0$).

Нетрудно доказать, что вторая квадратичная форма плоскости и только плоскости тождественно равна нулю.

В последующих параграфах будет показано, что вторая квадратичная форма поверхности является весьма эффективным средством исследования геометрических свойств регулярной поверхности.

Печать/экспорт